三点定理

以下の定理は，その方法を与える．

1. もし与えられた曲線 γ が原点対称， すなわち，変換 q --> −q に対して不変であれば， 曲線 γ を −q₃ だけ平行移動した曲線を γ_|| として，次の定理が成り立つ． (曲線 γ 上の点 q₃ は， 曲線 γ_|| 上の原点に移動する．)
   1. 条件 q₁+q₂+q₃=0 を満たす残りの二点 {q₁,q₂} は，曲線 γ と γ_|| の交点上にある.
   2. 逆に， γ と γ_|| の交点 q₁ があれば, q₁+q₂+q₃=0 を満たす点 q₂ も必ず交点上にある．
   図 1, 2 とアニメーション 1, 2 参照.
   
2. もし，曲線 γ が対称性を持っていなければ, γ_|| の代わりに， 写像 q --> q*=−q−q₃ による γ の像 γ* を使えば良い． .
   図 3, アニメーション 3, 4 参照.

任意の点集合（対称性も仮定しません）に適用可能な， より一般化された定理と詳細については，我々の論文 J. Phys. A: Math. Theor. 42 395205 (16pp) 2009 doi: 10.1088/1751-8113/42/39/395205 あるいは arXiv http://arxiv.org/abs/0906.2249 をご覧ください．

図 1：原点対称な凸曲線上で，重心が原点に固定された三点を見つける方法
曲線が円の場合は，このことは誰もが知っているでしょう．

図 2：８の字の形をした曲線上で，重心が原点に固定された三点を見つける方法

図 3: 一般の凸図形の場合.

曲線 γ* は， γ を 点 −q₃/2 について反転したものである.
あるいは, 曲線 γ* を以下の二段階に分けて作ることもできる．

1. 曲線 γ を原点について反転(q --> −q)させて，γ' を作る．
2. 曲線 γ' を −q₃ だけ平行移動させて γ* = (γ')_|| を作る．

アニメーション

アニメーション 1：三体８の字解への三点定理の応用

赤，緑，青の点は，Moore, Chenciner, Montgomery によって発見された （ニュートンポテンシャルの下での）三体８の字解の三つの粒子を表す． 黒い曲線は，その軌道である．
赤い点 q₃ を定めると， 他の二点 q₁，q₂ の位置は， 元の８の字（黒い曲線）と平行移動された８の字（赤い曲線）の交点の中に見つかる．

アニメーション 2：楕円上で三点の重心がゼロになる点

アニメーション 3: 卵形の曲線への三点定理の応用.

アニメーション 4: 歪んだ曲線への三点定理の応用.