記数法 ・・・ 文字や記号で数を表現する方法

例えば、普段使っている記数法は、「0,1,2,3,4,5,6,7,8,9」の10種類の文字（数字）を使う10進法。 「9」の次の数字は存在しないので、位を上げて「10」と表現する。

10進法以外の記数法
  • 2進法
    「0,1」の2種類の文字を使う記数法。
    「1」の次の数字は存在しないので、位を上げて「10」と表現する。 従って、2進法の「10」は10進法の「2」に相当する。

  • 8進法
    「0,1,2,3,4,5,6,7」の8種類の文字を使う記数法。
    「7」の次の数字は存在しないので、位を上げて「10」と表現する。 従って、8進法の「10」は10進法の「8」に相当する。

  • 16進法
    「0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F」の16種類の文字を使う記数法。
    「A,B,C,D,E,F」は10進法の「10,11,12,13,14,15」に相当する。 16進法の「10」は10進法の「16」に相当する。

    数値0〜15(10進法)の表し方を比較すると、次のようになる。
    2進法　8進法　10進法　16進法
    0000
    1111
    10222
    11333
    100444
    101555
    110666
    111777
    10001088
    10011199
    10101210A
    10111311B
    11001412C
    11011513D
    11101614E
    11111715F



    10進数を2進数に変換する方法
    　　2で割った余りを右から書いていく。

    （例1）「18」を2進数で表す
    18÷2=9あまり0
    9÷2=4あまり1
    4÷2=2あまり0
    2÷2=1あまり0
    1÷2=0あまり1
    答 10010

    （例2）「30」を2進数で表す
    30÷2=15あまり0
    15÷2= 7あまり1
    7÷2= 3あまり1
    3÷2= 1あまり1
    1÷2= 0あまり1
    答 11110


    2進数を10進数に変換する方法
    　　(n桁目×2n-1)　＋　…　＋　(1桁目×20)

    （例）2進数「110」
    　　　(1×22)　＋　(1×21)　＋　(0×20)
    　　＝(1×4)　＋　(1×2)　＋　(0×1)
    　　＝4＋2＋0
    　　＝6
    　　∴2進数「110」は10進数「6」である。


    2進数の加算
    1桁の2進数の加算
    　　0+0= 0
    　　0+1= 1
    　　1+0= 1
    　　1+1=10

    2桁以上の2進数の加算
    各桁で下の桁からの繰り上がりを含む３つの数の和を考える。
    　　0+0+0= 0
    　　0+1+0= 1
    　　1+0+0= 1
    　　1+1+0=10
    　　0+0+1= 1
    　　0+1+1=10
    　　1+0+1=10
    　　1+1+1=11

    （例1）
    　　110+101=1011

    　　　110
    　　+)101
    　　 -----
    　　 1011


    （例2）
    　　111+11=1010
    　　　111
    　　+) 11
    　　 -----
    　　 1010


    論理演算（Boole演算）
    　　「真」と「偽」の２つの数の演算。
    　　（真を1、偽を0と表すこともある）。
    　　次の４種の演算がある。

  • 論理積(AND)
    　　偽∧偽＝偽
    　　偽∧真＝偽
    　　真∧偽＝偽
    　　真∧真＝真

  • 論理和(OR)
    　　偽∨偽＝偽
    　　偽∨真＝真
    　　真∨偽＝真
    　　真∨真＝真

  • 排他的論理和(XOR)
    　　偽XOR偽＝偽
    　　偽XOR真＝真
    　　真XOR偽＝真
    　　真XOR真＝偽

  • 否定(NOT)
    　　 偽 ＝真
    　　 真 ＝偽


    論理演算と2進数の関係
    　　「真」を「1」、「偽」を「0」と考えて、論理積(AND)と排他的論理和(XOR)を組み合わせると、2進数の加算（足し算）を計算できる。

    1桁の2進数の加算（全部で4通り）
    　　0+0=0
    　　0+1=1
    　　1+0=1
    　　1+1=10

    答を1の位と10の位に分けて考える。
  • 1の位
    　　0+0の答の1の位は、0
    　　0+1の答の1の位は、1
    　　1+0の答の1の位は、1
    　　1+1の答の1の位は、0

    これは、排他的論理和(XOR)と同じ演算である。
    　　偽XOR偽＝偽
    　　偽XOR真＝真
    　　真XOR偽＝真
    　　真XOR真＝偽

  • 10の位
    　　0+0の答の10の位は、0
    　　0+1の答の10の位は、0
    　　1+0の答の10の位は、0
    　　1+1の答の10の位は、1

    これは、論理積(AND)と同じ演算である。
    　　偽∧偽＝偽
    　　偽∧真＝偽
    　　真∧偽＝偽
    　　真∧真＝真


    繰り上がりを考えれば、2桁以上の2進数の加算も計算できる。


    論理回路
    　　論理演算を行なう電気回路（論理回路）を作ることができる。

  • リレーとは
    　　電磁石の力でON-OFFを切り替えるスイッチ。
    リレー

  • リレーを使った論理回路
    リレーを使った論理回路

  • トランジスタとは → 半導体とは
    　　c-e間には電流が流れない。しかし・・・
    　　b-e間に電流を流すと、c-e間にも電流が流れる。
    トランジスタ

  • トランジスタを使った論理回路
    トランジスタを使った論理回路

  • 排他的論理和(XOR)の回路
    　　AND、OR、NOTを組み合わせて作る。
    排他的論理和の回路

    論理回路のまとめ
    論理回路のまとめ


    加算器
    論理回路を組み合わせて、加算（足し算）する回路を作ることができる。
    論理回路と半加算器･全加算器


    多桁の加算器
    1桁目の計算に半加算器、2桁目以上の計算に全加算器を使い、下位の桁上げ出力(C)を上位の桁上げ入力(X)につなげると、多桁の計算ができる。
    3桁の2進数を計算する加算器


    フリップフロップ回路
    　　データを記憶する回路。

    RSフリップフロップ
    フリップフロップ回路

    S(セット)とR(リセット)の入力を切り替えると、Qの出力が変わる。

    入力(S、R)と出力(Q)の関係
    S R Q
    0 0 前の状態を保持
    1 0 1
    0 1 0
    1 1 SとQを同時に1にするのは禁止

    (注)上図で記号が付いていない端子が１つあるが、ここにはQの否定（Q）が出力される。